Riemannscher Krümmungstensor

Dieser Text beschreibt Riemannscher Krümmungstensor.

Der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt die Krümmung der Raumzeit.

Die Berechnung des Krümmungstensors erfordert einigen mathematischen Aufwand, insbesondere benötigt man einen verallgemeinerten Ableitungsbegriff, die so genannte kovariante Ableitung. Ohne eingehendes Studium der Differentialgeometrie ist eine mathematische Beschreibung nicht möglich.

Der Krümmungstensor beinhaltet die ersten und zweiten Ableitungen des Metrischen Tensors, und die so genannten Christoffelsymbole.

In Analogie betrachte man den Graph einer gekrümmten Funktion, z.B. von f(x) = x².

Das Krümmungsverhalten wird durch die Ableitungen der Funktion beschrieben.

Der Graph der Funktion ist rechtsgekrümmt, wenn f''(x < 0 ist. Im Beispiel ist f''(x) = 2 > 0. Man sagt die Funktion ist linksgekrümmt.

Bei einer gekrümmten Fläche in dem Raum kann die Krümmung in jeder Richtung unterschiedlich sein, zur Beschreibung der Krümmung in eine Richtung benutzt man Richtungsableitungen.

Richtungsableitungen können durch partielle Ableitungen ausgedrückt werden. Partielle Ableitungen gehen in die Darstellung des Krümmungstensors ein.

Der Riemannsche Krümmungstensor ist eine vierfach indizierte Größe. Man kann ihn z.B. in der Form

R^m_ikp

angeben.

Zur Berechnung des Krümmungstensors bringt man das Gravitationsfeld in jedem Raumzeit-Punkt des gekrümmten Raumes zu dem Verschwinden und behandelt, wie die entstehenden flachen Räume der Speziellen Relativitätstheorie miteinander zusammenhängen.

Dem Verschwinden des Gravitationsfeldes unter Koordinaten-Transformationen entspricht das Verschwinden des Gravitationsfeldes für einen Passagier in einem frei fallenden Fahrstuhl. In einem inhomogenen Gravitationsfeld ist diese Transformation ca. lokal möglich, d.h. für die unmittelbare Umgebung eines Raumzeit-Punktes.

Der Fahrstuhl ist sehr klein gegen das Gravitationsfeld der Erde, die Inhomogenität des Feldes kann für die räumlichen Dimensionen des Fahrstuhles vernachlässigt werden, daher ist diese Transformation für Fahrstühle in Gebäuden auf der Erdoberfläche möglich.

In Analogie betrachte man eine Kugel-Oberfläche. Diese gekrümmte Fläche hat in jedem Punkt eine Tangentialfläche. In der Nähe des Punktes unterscheiden sich die Tangentialfläche und die Umgebung des Punktes auf der Kugeloberfläche ca. wenig.

Die Krümmung der Kugeloberfläche entspricht der Krümmung der Raumzeit, der Übergang zur Tangentialfläche entspricht dem Übergang zu dem flachen Raum.

Die Schwierigkeit bei der Kugeloberfläche besteht darin, den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Tangentialflächen zu beschreiben. Je zwei Tangentialflächen haben eine unterschiedliche Orientierung in dem Raum.

Dieses Problem wird in der mathematischen Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten gelöst.

Entsprechende Probleme hat man bei der gekrümmten Raumzeit. Zur Lösung benutzt man die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes. Sind sie vertauschbar, so ist der Raum flach, sind sie nicht vertauschbar, so ist er gekrümmt, und die Krümmung kann durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben werden.

Die klassische Differentialgeometrie benutzt den mathematischen Begriff einer Mannigfaltigkeit nicht. Klassische Differentialgeometrie wurde z.B. von Einstein benutzt, und wird auch heute noch von vielen Autoren benutzt (z.B. Fliessbach, Landau-Lifschitz).